26考研 数学张宇1000题概率论与数理统计
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📖课程资料内容总结：
📊 二项分布的可加性与正态近似
| ➕ 可加性定理：若X~B(n₁,p), Y~B(n₂,p)独立，则X+Y~B(n₁+n₂,p) |
P(X₁+X₂+X₃=k) = ∑i+j=kC(n₁,i)pⁱ(1-p)ⁿ¹⁻ⁱ · C(n₂,j)pʲ(1-p)ⁿ²⁻ʲ
正态近似条件：
- 📏 当np≥5且n(1-p)≥5时，二项分布X~B(n,p)近似服从N(np, np(1-p))[1,3](@ref)
- ⚖️ 标准化转换：Z=(X-np)/√[np(1-p)] ≈ N(0,1)
⚖️ F分布与标准正态分布的关系
| 📐 F分布定义 | 若X~χ²(m), Y~χ²(n)独立，则F=(X/m)/(Y/n)~F(m,n) |
P(F > Fₐ(m,n)) = α → F₁₋ₐ(n,m) = 1/Fₐ(m,n)
正态样本转换：
- 🔀 设Z₁,Z₂,...,Zₙ~N(0,1)独立，则T=Z/√[∑Zᵢ²/(n-1)] ~ t(n-1)[9,17](@ref)
- 📈 E(T)=0 (n>1), Var(T)=n/(n-2) (n>2)
🔍 统计量独立性与t分布构建
| 📏 正态样本性质：X̄与S²独立，且(n-1)S²/σ²~χ²(n-1) |
- ✅ E(X̄) = μ, E(X²) = σ² + μ² → E(X̄+X²) = 2 (当μ=0,σ²=1)
- ⚡ t分布构造：T = (X̄-μ)/(S/√n) ~ t(n-1)[10,17](@ref)
分母处理技巧：|X| = √(X²) → 绝对值转化为卡方变量
🔄 正态向卡方/t分布的转换验证
| ❌ A选项 | (X/2)² ~ χ²(1) 但要求X~N(0,1)，此处X~N(0,4)不满足 |
| ❌ B选项 | ∑(Xᵢ/2)² ~ χ²(n) 需Xᵢ独立同分布N(0,1) |
- ✅ 标准化：Z=(X-μ)/σ ~ N(0,1)
- 📐 卡方转换：若Z₁,...,Zₖ独立标准正态，则∑Zᵢ²~χ²(k)[13](@ref)
- 🧩 t分布构造：T=Z/√(V/k) ~ t(k)，其中V~χ²(k)且与Z独立
🎲 随机变量分布与F分布判定
分布特性分析：
| X~N(0,1) | fₓ(x)=1/√(2π)e⁻ˣ²/² |
| Y~N(1,4) | fᵧ(y)=1/(2√(2π))e⁻⁽ʸ⁻¹⁾²/⁸ |
∵ X²~χ²(1), (Y-1)²/4~χ²(1) 且独立
∴ (X²)/[(Y-1)²/4] ~ F(1,1)
正态样本性质：
∴ (X²)/[(Y-1)²/4] ~ F(1,1)
- 📊 Ȳ₁, Ȳ₂独立 ⇨ 两样本独立且服从N(μ₁,σ²/n₁), N(μ₂,σ²/n₂)
- ⚖️ 均值差分布：(Ȳ₁-Ȳ₂)~N(μ₁-μ₂, σ²(1/n₁+1/n₂))
🧠 T分布构成证明（五步法）
| 📝 证明目标：Z = (X₁ + X₂)/√(X₃² + X₄²) ~ t(2) |
- 标准化处理：令Y₁=X₁, Y₂=X₂, Y₃=X₃/2, Y₄=X₄/2 → 所有Yᵢ~N(0,1)
- 分子构造：分子U=X₁+X₂ ~ N(0,2) ⇒ U/√2 ~ N(0,1)
- 分母构造：分母V=X₃²+X₄² = 4(Y₃²+Y₄²) ⇒ V/4 ~ χ²(2)
- 独立性验证：U与V独立（正态分布性质）[9,13](@ref)
- t分布定义：Z = (U/√2)/√[(V/4)/2] = (U/√2)/√(V/8) ~ t(2)
⏺️ 核心定理： 分子标准正态，分母为卡方分布/自由度，二者独立 ⇒ 服从t分布[12,17](@ref)
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